☛ Déterminer la primitive vérifiant une condition initiale

Énoncé

Soit `f` définie sur  \(\mathbb R\)  par \(f(x)=2x-3\) . 

1. Déterminer  toutes les primitives de \(f\) sur \(\mathbb R\) .
2. D éterminer la primitive \(G\) de \(f\)  sur \(\mathbb R\) qui vérifie \(G(2)=6\) .
3. Déterminer la primitive \(H\) de \(f\) sur \(\mathbb R\) dont la courbe représentative passe par le point de coordonnées \((-1\ ;\ 4)\) .

Solution

1. Les primitives de \(f\) sur \(\mathbb R\) sont les fonctions \(F\) de la forme \(F(x)=x^2-3x+C\) , où \(C\in \mathbb R\) .

2. On cherche \(G\) , primitive de \(f\)  sur \(\mathbb R\) , qui vérifie \(G(2)=6\) .
On remplace \(x\) par \(2\) dans l'expression  \(x^2-3x+C\) et on résout l'équation en \(C\) : 
\(G(2)=2^2-3\times 2+C=4-6+C=-2+C\) .
Or,  \(G(2)=6\) , d'où  \(-2+C=6 \Leftrightarrow C=8\) . 
La primitive cherchée est définie sur \(\mathbb R\) par   \(G(x)=x^2-3x+8\) .

3. On note \(H(x)=x^2-3x+C\) ,   avec \(C\in \mathbb R\) . On cherche \(C\) tel que \(H(-1)=4\) .
\(H(-1)=(-1)^2-3\times (-1)+C=4+C\) .
Or \(H(-1)=4\) , d'où \(4+C=4 \Leftrightarrow C=0\) .
La primitive cherchée est définie sur \(\mathbb R\) par   \(H(x)=x^2-3x\) .

Remarques

• Dire qu'on cherche l'unique primitive   \(F\) de  \(f\)  sur un intervalle  \(I\)  vérifiant la condition initiale \(F(x_0)=y_0\)  revient à dire que ,  parmi les courbes représentatives des primitives de \(f\)  sur  \(I\) ,   on cherche l'unique courbe représentative qui passe par le point \(\mathrm M_0\) de coordonnées \((x_0~;~y_0)\) dans un repère du plan.
  
• Deux courbes représentatives de primitives de   \(f\)   sur   \(I\) se déduisent l'une de l'autre par une translation de vecteurs \(C\overrightarrow j\) , où \(C\) est un réel. Une seule d'entre elles passe par le point \(\text M_0(x_0~;~y_0)\) .